数学问题

设 $n$$n$ 为一个偶数正整数。设 $p$$p$ 为一个次数为 $2n$$2n$ 的单项式实系数多项式；也就是说，

对于一些实系数 $a_0,\dots ,a_{2n-1}$$a_0, \dots, a_{2n-1}$ 。

假设 $p\left(\frac{1}{k}\right)=k^2$$p\left( \frac{1}{k} \right) = k^2$ 对所有整数 $k$$k$ 成立，其中 1 $\le |k|\le n$$\leq |k| \leq n$ 。

求所有其他实数 $x$$x$ 使得 $p\left(\frac{1}{x}\right)=x^2$$p\left( \frac{1}{x} \right) = x^2$。

思考

我们被告知对于所有满足 $1\le |k|\le n$$1 \leq |k| \leq n$ 的整数 k 值，有：

$p\left(\frac{1}{k}\right)=k^2$$p\left(\frac{1}{k}\right) = k^2$

我们的问题是：已知 p 是 2n 次的首一多项式，且对 $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$k = \pm1, \pm2, …, \pm n$ 有 $p\left(\frac{1}{k}\right)=k^2$$p\left(\frac{1}{k}\right) = k^2$，求所有其他满足 $p\left(\frac{1}{x}\right)=x^2$$p\left(\frac{1}{x}\right) = x^2$ 的实数 x。

换句话说，我们要找到所有满足 $p\left(\frac{1}{x}\right)=x^2$$p\left(\frac{1}{x}\right) = x^2$ 的实数 x。

首先，注意到：

• p(x) 是 2n 次的首一多项式。

• 我们有 2n 个数据点：对于 $k=\pm 1$$k = \pm1$ 到 $\pm n$$\pm n$，有 $p\left(\frac{1}{k}\right)=k^2$$p\left(\frac{1}{k}\right) = k^2$。

但是有 2n 个不同的 $\frac{1}{k}$$\frac{1}{k}$ 值（因为 k 取遍整数 $\pm 1$$\pm1$ 到 $\pm n$$\pm n$，且它们是不同的）。

因此，我们有 2n 个形如 $(\frac{1}{k},k^2)$$\left(\frac{1}{k}, k^2\right)$ 的点 (x,y)。

所以，p 是一个 2n 次多项式，对 2n 个 $\frac{1}{k}$$\frac{1}{k}$ 值满足 $p\left(\frac{1}{k}\right)=k^2$$p\left(\frac{1}{k}\right) = k^2$。

等等，但 $p\left(\frac{1}{x}\right)-x^2=0$$p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2 = 0$。

我们的方程是 $p\left(\frac{1}{x}\right)-x^2=0$$p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2 = 0$。

让我定义 $q(x)=p\left(\frac{1}{x}\right)-x^2$$q(x) = p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2$。

我们的任务是找到所有使得 q(x) = 0 的实数 x。

根据问题给出的数据，让我们考虑 $q(k)=p\left(\frac{1}{k}\right)-k^2=0$$q(k) = p\left(\frac{1}{k}\right) - k^2 = 0$，对 $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$k = \pm1, \pm2, …, \pm n$。

因此，q(k) = 0 对 $k=\pm 1,\dots ,\pm n$$k = \pm1, …, \pm n$ 成立。

此外，由于 p 是 2n 次多项式，那么 $p\left(\frac{1}{x}\right)$$p\left(\frac{1}{x}\right)$ 作为 x 的函数时是一个 2n 次有理函数。

但我们可以考虑 $q(x)=p\left(\frac{1}{x}\right)-x^2$$q(x) = p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2$。

另外，让我们考虑 $s(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)-x^{2n+2}$$s(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) - x^{2n+2}$。

让我解释：我们可以考虑 $p\left(\frac{1}{x}\right)=x^{-2n}+a_{2n-1}{x}^{-2n+1}+\dots +a_0$$p\left(\frac{1}{x}\right) = x^{-2n} + a_{2n-1} x^{-2n+1} + … + a_0$。

然后乘以 $x^{2n}$$x^{2n}$ 得到：

$x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=1+a_{2n-1}x+a_{2n-2}{x}^2+\dots +a_0{x}^{2n}$$x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) = 1 + a_{2n-1} x + a_{2n-2} x^2 + … + a_0 x^{2n}$。

同样地，$x^{2n+2}=x^{2n+2}$$x^{2n+2} = x^{2n+2}$。

因此，定义多项式 $s(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)-x^{2n+2}$$s(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) - x^{2n+2}$。

但等等，也许重新排列更好。

让我考虑 $s(x)=x^{2n}[p\left(\frac{1}{x}\right)-x^2]=x^{2n}q(x)$$s(x) = x^{2n} \left[p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2\right] = x^{2n} q(x)$。

所以 $s(x)=x^{2n}q(x)$$s(x) = x^{2n} q(x)$。

由于对 $k=\pm 1,\dots ,\pm n$$k = \pm1, …, \pm n$，q(k) = 0，我们有 q(k) = 0。

因此，$s(k)=k^{2n}q(k)=0$$s(k) = k^{2n} q(k) = 0$。

因此，s(k) = 0 在 $x=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$x = \pm1, \pm2, …, \pm n$ 处。

因此，s(x) 是一个多项式（不是有理函数），因为 $x^{2n}q(x)$$x^{2n} q(x)$ 是一个多项式。

此外，$s(x)=x^{2n}[p\left(\frac{1}{x}\right)-x^2]=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)-x^{2n+2}$$s(x) = x^{2n} \left[p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2\right] = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) - x^{2n+2}$。

但 $x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=\left[x^{2n}\right]\left[p\left(\frac{1}{x}\right)\right]=p^{\ast }(x)$$x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) = \left[x^{2n}\right]\left[p\left(\frac{1}{x}\right)\right] = p^*(x)$。

等等，但 $x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)$$x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right)$ 是 p(x) 的"倒数多项式"，在 x 处求值。

但由于 p(x) 是 2n 次首一多项式，它的倒数多项式也是 2n 次首一多项式。

因此，设 $t(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)$$t(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right)$。

让我写 $t(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=P^{\ast }(x)$$t(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) = P^*(x)$。

$P^{\ast }(x)$$P^*(x)$ 是 p(x) 的反转多项式。

$p(x)=x^{2n}+a_{2n-1}{x}^{2n-1}+\dots +a_0$$p(x) = x^{2n} + a_{2n-1} x^{2n-1} + … + a_0$。

那么 $t(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=x^{2n}[{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2n}+a_{2n-1}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2n-1}+\dots +a_0]=1+a_{2n-1}x+a_{2n-2}{x}^2+\dots +a_0{x}^{2n}$$t(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) = x^{2n} \left[ \left(\frac{1}{x}\right)^{2n} + a_{2n-1} \left(\frac{1}{x}\right)^{2n-1} + … + a_0 \right] = 1 + a_{2n-1} x + a_{2n-2} x^2 + … + a_0 x^{2n}$。

所以 $t(x)=p^{\ast }(x)$$t(x) = p^*(x)$，p 的倒数多项式。

因此，$s(x)=t(x)-x^{2n+2}=[1+a_{2n-1}x+a_{2n-2}{x}^2+\dots +a_0{x}^{2n}]-x^{2n+2}$$s(x) = t(x) - x^{2n+2} = [1 + a_{2n-1} x + a_{2n-2} x^2 + … + a_0 x^{2n}] - x^{2n+2}$。

但 $x^{2n+2}=x^{2n+2}$$x^{2n+2} = x^{2n+2}$。

因此，$s(x)=p^{\ast }(x)-x^{2n+2}$$s(x) = p^*(x) - x^{2n+2}$。

我们现在可以写 $s(x)=p^{\ast }(x)-x^{2n+2}$$s(x) = p^*(x) - x^{2n+2}$。

另外，$p^{\ast }(x)-x^{2n+2}=s(x)$$p^*(x) - x^{2n + 2} = s(x)$。

但 $t(x)=p^{\ast }(x)$$t(x) = p^*(x)$，且 $s(x)=t(x)-x^{2n+2}$$s(x) = t(x) - x^{2n+2}$。

但我们的关键是 $s(x)=x^{2n}q(x)$$s(x) = x^{2n} q(x)$。

回想一下 q(k) = 0 对 $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$k = \pm1, \pm2, …, \pm n$ 成立。

因此，s(k) = 0 在 $x=\pm 1,\dots ,\pm n$$x = \pm1, …, \pm n$ 处。

因此，s(x) 是一个在 $x=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$x = \pm1, \pm2, …, \pm n$ 处消失的多项式。

s(x) 在 $x=\pm 1,\dots ,\pm n$$x = \pm1, …, \pm n$ 处有根。

因此，s(x) 必须能被以 $\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$\pm1, \pm2, …, \pm n$ 为根的首一多项式整除。

因此，$s(x)=m(x)h(x)$$s(x) = m(x) h(x)$，

其中 $m(x)=(x-(-n))(x-(-n+1))\dots (x-(-1))(x-(1))\dots (x-n)$$m(x) = (x - (-n)) (x - (-n+1)) … (x - (-1)) (x - (1)) … (x - n)$。

等等，即 $m(x)=\prod _{k=1}^n(x-k)(x+k)=\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)$$m(x) = \prod_{k=1}^n (x - k)(x + k) = \prod_{k=1}^n (x^2 - k^2)$。

因此，$m(x)=\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)=\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)$$m(x) = \prod_{k=1}^n (x^2 - k^2) = \prod_{k=1}^n (x^2 - k^2)$。

因此，m(x) 是一个 2n 次首一多项式。

类似地，由于 s(x) 的次数...

让我计算 s(x) 的次数：

由于 $s(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)-x^{2n+2}$$s(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) - x^{2n+2}$，

计算 $t(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)$$t(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right)$。

我们有 $p(x)=x^{2n}+a_{2n-1}{x}^{2n-1}+\cdots +a_0$$p(x) = x^{2n} + a_{2n-1} x^{2n-1} + \cdots + a_0$。

然后 $t(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=x^{2n}[{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2n}+a_{2n-1}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2n-1}+\cdots +a_0]=1+a_{2n-1}x+a_{2n-2}{x}^2+\cdots +a_0{x}^{2n}$$t(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) = x^{2n} \left[ \left(\frac{1}{x}\right)^{2n} + a_{2n-1} \left(\frac{1}{x}\right)^{2n-1} + \cdots + a_0 \right] = 1 + a_{2n-1} x + a_{2n-2} x^2 + \cdots + a_0 x^{2n}$。

所以 t(x) 是一个 2n 次多项式。

$x^{2n+2}$$x^{2n+2}$ 呢？

所以 $s(x)=t(x)-x^{2n+2}$$s(x) = t(x) - x^{2n+2}$。

因此，s(x) 是一个次数为 $max(\text{度数为 }t(x),x^{2n+2}\text{的度数})=\text{degree}(x^{2n+2})$$\max(\text{度数为 } t(x), x^{2n+2} \text{的度数}) = \text{degree}(x^{2n+2})$ 的多项式

所以 s(x) 的次数是 2n+2。

但 t(x) 的次数是 2n。

所以 $s(x)=[\text{2n 次多项式}]-\text{(2n+2) 次单项式}=-x^{2n+2}+[\text{次数 }\le 2n\text{ 的多项式}]$$s(x) = [\text{2n 次多项式}] - \text{(2n+2) 次单项式} = -x^{2n+2} + [\text{次数 } \leq 2n \text{ 的多项式}]$。

所以 s(x) 的首项是 $-x^{2n+2}$$-x^{2n+2}$。

因此，s(x) 是一个 2n+2 次多项式，首项系数为 -1。

所以 $s(x)=-x^{2n+2}+\text{低次项}$$s(x) = -x^{2n+2} + \text{低次项}$。

类似地，$m(x)=\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)=\text{2n 次首一多项式}$$m(x) = \prod_{k=1}^n \left(x^2 - k^2\right) = \text{2n 次首一多项式}$。

因此，如果我们因式分解 $s(x)=m(x)h(x)$$s(x) = m(x) h(x)$，

由于 s(x) 是 2n+2 次且 m(x) 是 2n 次，h(x) 必须是 2 次。

因此，h(x) 是一个二次多项式。

我们的计划是写 $s(x)=m(x)h(x)$$s(x) = m(x) h(x)$。

考虑到 s(x) 是 2n+2 次且首项系数为 -1，

类似地，m(x) 是 2n 次首一多项式。

因此，h(x) 必须是 2 次多项式且首项系数为 -1。

因此，h(x) 必须是 $h(x)=-x^2+bx+c$$h(x) = -x^2 + bx + c$ 的形式。

另外，由于 $s(x)=m(x)h(x)$$s(x) = m(x) h(x)$，

我们可以写 $s(x)=(-1)x^{2n+2}+\text{[低次项]}$$s(x) = (-1) x^{2n+2} + \text{[低次项]}$。

同时，$m(x)=x^{2n}+\text{[低次项]}$$m(x) = x^{2n} + \text{[低次项]}$（因为它是 2n 次首一多项式）。

类似地，$h(x)=-x^2+bx+c$$h(x) = -x^2 + bx + c$。

那么 $s(x)=m(x)h(x)=[x^{2n}+\cdots ](-x^2+bx+c)=-x^{2n+2}+\text{[低次项]}$$s(x) = m(x) h(x) = \left[x^{2n} + \cdots \right] \left( -x^2 + bx + c \right) = -x^{2n+2} + \text{[低次项]}$。

因此，s(x) 的首项是 $-x^{2n+2}$$-x^{2n+2}$，这是匹配的。

因此，我们关于 h(x) 是 2 次且首项系数为 -1 的断言是一致的。

因此，$h(x)=-x^2+bx+c$$h(x) = -x^2 + bx + c$。

我们现在的任务是找到 b 和 c。

所以我们有：

$s(x)=m(x)h(x)=\left[\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)\right](-x^2+bx+c)$$s(x) = m(x) h(x) = \left[\prod_{k=1}^n \left(x^2 - k^2\right)\right] \left( -x^2 + bx + c \right)$

且 $s(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)-x^{2n+2}$$s(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) - x^{2n+2}$。

将 s(x) 的表达式等同。

另外，让我们考虑 $t(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=p^{\ast }(x)$$t(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) = p^*(x)$。

那么 $s(x)=t(x)-x^{2n+2}=p^{\ast }(x)-x^{2n+2}$$s(x) = t(x) - x^{2n+2} = p^*(x) - x^{2n+2}$。

因此，$s(x)=m(x)h(x)$$s(x) = m(x) h(x)$。

因此，$p^{\ast }(x)-x^{2n+2}=m(x)h(x)$$p^*(x) - x^{2n+2} = m(x) h(x)$。

但 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 是 2n 次且 $x^{2n+2}$$x^{2n+2}$ 是 2n+2 次，所以它们的差是 2n+2 次。

现在，记住 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 是 $\le 2n$$\leq 2n$ 次。

因此，左边 $p^{\ast }(x)-x^{2n+2}=[\text{次数}\le 2n]-[\text{2n+2 次}]$$p^*(x) - x^{2n+2} = [\text{次数} \leq 2n] - [\text{2n+2 次}]$。

等等，但 $x^{2n+2}$$x^{2n+2}$ 项的次数比 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 高，所以 s(x) 的首项是 $-x^{2n+2}$$-x^{2n+2}$。

类似地，右边 $m(x)h(x)=[\text{2n 次}]\times [\text{2 次}]=\text{2n+2 次}$$m(x) h(x) = [\text{2n 次}] \times [\text{2 次}] = \text{2n+2 次}$。

现在，让我们写 $s(x)=-x^{2n+2}+\text{低次项}$$s(x) = -x^{2n+2} + \text{低次项}$。

类似地，$m(x)h(x)=x^{2n}(-x^2+bx+c)+\text{低次项}$$m(x) h(x) = x^{2n} \left( -x^2 + bx + c \right) + \text{低次项}$。

计算 $m(x)h(x)=(x^{2n}+\text{低次项})(-x^2+bx+c)$$m(x) h(x) = \left(x^{2n} + \text{低次项}\right)( -x^2 + bx + c)$。

$x^{2n}$$x^{2n}$ 和 $-x^2$$-x^2$ 的乘积给出 $-x^{2n+2}$$-x^{2n+2}$。

类似地，$x^{2n}\times bx=b{x}^{2n+1}$$x^{2n} \times bx = bx^{2n+1}$，

且 $x^{2n}\times c=c{x}^{2n}$$x^{2n} \times c = c x^{2n}$。

因此，我们得到：

$s(x)=m(x)h(x)=(-x^{2n+2})+b{x}^{2n+1}+c{x}^{2n}+\text{[低次项]}$$s(x) = m(x) h(x) = (-x^{2n+2}) + bx^{2n+1} + c x^{2n} + \text{[低次项]}$。

类似地，$s(x)=-x^{2n+2}+\text{[低次项]}$$s(x) = -x^{2n+2} + \text{[低次项]}$。

因此，为了使高次项匹配，$s(x)=-x^{2n+2}+b{x}^{2n+1}+c{x}^{2n}+\text{[低次项]}$$s(x) = -x^{2n+2} + bx^{2n+1} + c x^{2n} + \text{[低次项]}$。

等等，但从 s(x) 的定义，我们有：

$s(x)=[t(x)]-x^{2n+2}=[\text{t(x) 的首项}]-x^{2n+2}$$s(x) = [ t(x) ] - x^{2n+2 } = [\text{t(x) 的首项}] - x^{2n+2}$。

但 $t(x)=p^{\ast }(x)=1+a_{2n-1}x+a_{2n-2}{x}^2+\cdots +a_0{x}^{2n}$$t(x) = p^*(x) = 1 + a_{2n-1} x + a_{2n-2} x^2 + \cdots + a_0 x^{2n}$。

因此，t(x) 是次数 $\le 2n$$\leq 2n$ 的多项式。

因此，$s(x)=[\text{次数}\le 2n]-x^{2n+2}=-x^{2n+2}+[\text{次数}\le 2n]$$s(x) = [\text{次数} \leq 2n ] - x^{2n+2} = -x^{2n+2} + [\text{次数} \leq 2n ]$。

因此，s(x) 的最高次项是 $-x^{2n+2}$$-x^{2n+2}$，其余是低次项。

因此，$s(x)=-x^{2n+2}+\text{低次项}$$s(x) = -x^{2n+2} + \text{低次项}$。

所以匹配项：

从 m(x)h(x)：

• s(x) 的首项：$-x^{2n+2}$$-x^{2n+2}$

• 第二项：$b{x}^{2n+1}$$bx^{2n+1}$

• 第三项：$c{x}^{2n}$$c x^{2n}$。

但从 $s(x)=p^{\ast }(x)-x^{2n+2}$$s(x) = p^*(x) - x^{2n+2}$，且 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 的次数 $\le 2n$$\leq 2n$。

因此，s(x) 中没有 $x^{2n+1}$$x^{2n+1}$ 项，除非 t(x) 贡献，但 t(x) 的次数 $\le 2n$$\leq 2n$。

鉴于 $s(x)=-x^{2n+2}+[\text{次数}\le 2n]$$s(x) = -x^{2n+2} + [\text{次数} \leq 2n]$，

因此，$s(x)=-x^{2n+2}+s_{2n}{x}^{2n}+s_{2n-1}{x}^{2n-1}+\cdots +s_0$$s(x) = -x^{2n+2} + s_{2n} x^{2n} + s_{2n-1} x^{2n-1} + \cdots + s_0$。

类似地，从 m(x)h(x) 的计算：

$s(x)=m(x)h(x)=[x^{2n}+\cdots ]\cdot (-x^2+bx+c)=-x^{2n+2}+b{x}^{2n+1}+c{x}^{2n}+\text{[低次项]}$$s(x) = m(x) h(x) = [x^{2n} + \cdots ] \cdot (-x^2 + bx + c) = -x^{2n+2} + b x^{2n+1} + c x^{2n} + \text{[低次项]}$。

所以从上面，s(x) 中 $x^{2n+1}$$x^{2n+1}$ 的系数是 b。

但根据 $s(x)=-x^{2n+2}+[\text{次数}\le 2n]$$s(x) = -x^{2n+2} + [\text{次数} \leq 2n]$，$x^{2n+1}$$x^{2n+1}$ 项是缺失的（因为 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 的次数 $\le 2n$$\leq 2n$）。

因此，s(x) 没有 $x^{2n+1}$$x^{2n+1}$ 项。

因此，s(x) 中 $x^{2n+1}$$x^{2n+1}$ 的系数为零。

因此，b = 0。

类似地，让我们现在比较 s(x) 中 $x^{2n}$$x^{2n}$ 的系数，即 $c{x}^{2n}$$cx^{2n}$。

类似地，从 $s(x)=-x^{2n+2}+s_{2n}{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$s(x) = - x^{2n+2} + s_{2n} x^{2n} + [\text{低次项}]$，

所以 s(x) 中 $x^{2n}$$x^{2n}$ 的系数是 $s_{2n}=c$$s_{2n} = c$。

但 $s(x)=p^{\ast }(x)-x^{2n+2}$$s(x) = p^*(x) - x^{2n+2}$。

所以 $s(x)=[p^{\ast }(x)]-x^{2n+2}$$s(x) = [p^*(x)] - x^{2n+2}$。

但 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 的次数 $\le 2n$$\leq 2n$。

因此，s(x) 中的 $x^{2n}$$x^{2n}$ 项由 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 中的 $x^{2n}$$x^{2n}$ 项给出，即 $a_0{x}^{2n}$$a_0 x^{2n}$。

所以 $s(x)=(-x^{2n+2})+a_0{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$s(x) = (- x^{2n+2}) + a_0 x^{2n} + [\text{低次项}]$。

因此，比较系数，s(x) 中 $x^{2n}$$x^{2n}$ 的系数是 $a_0$$a_0$。

因此，$c=a_0$$c = a_0$。

所以 $c=a_0$$c = a_0$。

所以我们有 $h(x)=-x^2+c$$h(x) = -x^2 + c$。

但我们已经有 b = 0。

因此，$h(x)=-x^2+c$$h(x) = -x^2 + c$。

我们现在可以写：$s(x)=m(x)[-x^2+c]=[\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)](-x^2+c)$$s(x) = m(x) [-x^2 + c] = \left[\prod_{k=1}^n (x^2 - k^2)\right] (-x^2 + c)$。

类似地，$s(x)=-x^{2n+2}+a_0{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$s(x) = -x^{2n+2} + a_0 x^{2n} + [\text{低次项}]$。

我们可能能够计算表达式 $m(x)[-x^2+c]$$m(x) [-x^2 + c]$ 并匹配 $x^{2n}$$x^{2n}$ 的系数。

让我首先考虑 $m(x)=x^{2n}+[\text{低次项}]$$m(x) = x^{2n} + [\text{低次项}]$。

类似地，$m(x)\cdot (-x^2+c)=-x^{2n+2}+c{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$m(x) \cdot (-x^2 + c) = -x^{2n+2} + c x^{2n} + [\text{低次项}]$。

因此，$s(x)=-x^{2n+2}+c{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$s(x) = -x^{2n+2} + c x^{2n} + [\text{低次项}]$。

但 $s(x)=-x^{2n+2}+a_0{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$s(x) = -x^{2n+2} + a_0 x^{2n} + [\text{低次项}]$。

因此，$c{x}^{2n}=a_0{x}^{2n}$$c x^{2n} = a_0 x^{2n}$。

因此，$c=a_0$$c = a_0$。

因此，$c=a_0$$c = a_0$。

所以我们已经确认 $c=a_0$$c = a_0$。

但下一项呢？让我们考虑匹配下一个系数。

计算 $m(x)\cdot (-x^2+c)=-x^{2n+2}+c{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$m(x) \cdot (-x^2 + c) = -x^{2n+2} + c x^{2n} + [\text{低次项}]$。

s(x) 中 $x^{2n-2}$$x^{2n-2}$ 的项是由以下乘积产生的：

• m(x) 中的 $x^{2n-2}$$x^{2n-2}$ 项乘以 $-x^2$$-x^2$

• m(x) 中的 $x^{2n-2}$$x^{2n-2}$ 项乘以 c。

让我写 $m(x)=x^{2n}+m_{2n-2}{x}^{2n-2}+\text{低次项}$$m(x) = x^{2n} + m_{2n-2} x^{2n-2} + \text{低次项}$。

类似地，$m(x)\cdot (-x^2)=(-x^{2n+2}+m_{2n-2}{x}^{2n}+\text{低次项})$$m(x) \cdot (-x^2) = (-x^{2n+2} + m_{2n-2} x^{2n} + \text{低次项})$。

等等，实际上，没有具体的项，这可能对我们没有直接帮助。

另一种方法是考虑已知的多项式。

所以 $m(x)=\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)$$m(x) = \prod_{k=1}^n (x^2 - k^2)$。

类似地，$s(x)=m(x)[-x^2+c]$$s(x) = m(x) [-x^2 + c]$。

现在，考虑 $s(x)=[-x^{2n+2}]+c{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$s(x) = [-x^{2n+2}] + c x^{2n} + [\text{低次项}]$。

类似地，分别展开 $m(x)[-x^2]$$m(x) [-x^2]$ 和 $m(x)\cdot c$$m(x) \cdot c$。

让我计算 $m(x)\cdot (-x^2)$$m(x) \cdot (-x^2)$。

由于 m(x) 是 2n 次首一多项式，其最高次项是 $x^{2n}$$x^{2n}$。

因此，$m(x)\cdot (-x^2)=-x^{2n+2}+\text{低次项}$$m(x) \cdot (-x^2) = - x^{2n+2} + \text{低次项}$。

类似地，$m(x)\cdot c=c{x}^{2n}+\text{低次项}$$m(x) \cdot c = c x^{2n} + \text{低次项}$。

因此，$s(x)=[-x^{2n+2}]+c{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$s(x) = [- x^{2n+2}] + c x^{2n} + [\text{低次项}]$。

类似地，从 s(x) 的定义，$s(x)=[-x^{2n+2}]+s_{2n}{x}^{2n}+s_{2n-1}{x}^{2n-1}+\cdots$$s(x) = [- x^{2n+2}] + s_{2n} x^{2n} + s_{2n-1} x^{2n-1} + \cdots$。

但从 $s(x)=p^{\ast }(x)-x^{2n+2}$$s(x) = p^*(x) - x^{2n+2}$。

由于 $p^{\ast }(x)=1+a_{2n-1}x+a_{2n-2}{x}^2+\cdots +a_0{x}^{2n}$$p^*(x) = 1 + a_{2n-1} x + a_{2n-2} x^2 + \cdots + a_0 x^{2n}$，

因此，$s(x)=[1+a_{2n-1}x+a_{2n-2}{x}^2+\cdots +a_0{x}^{2n}]-x^{2n+2}$$s(x) = [1 + a_{2n-1} x + a_{2n-2} x^2 + \cdots + a_0 x^{2n}] - x^{2n+2}$。

但这似乎与我们先前的断言 $s(x)=-x^{2n+2}+a_0{x}^{2n}+\cdots$$s(x) = - x^{2n+2} + a_0 x^{2n} + \cdots$ 相矛盾。

等等，也许我们需要在这里小心。

让我试着重写 s(x)。

给定 $t(x)=p^{\ast }(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=1+a_{2n-1}x+\cdots +a_0{x}^{2n}$$t(x) = p^*(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) = 1 + a_{2n-1} x + \cdots + a_0 x^{2n}$，

因此，$s(x)=t(x)-x^{2n+2}=[1+a_{2n-1}x+\cdots +a_0{x}^{2n}]-x^{2n+2}$$s(x) = t(x) - x^{2n+2} = [1 + a_{2n-1} x + \cdots + a_0 x^{2n}] - x^{2n+2}$。

所以 $s(x)=-x^{2n+2}+a_0{x}^{2n}+[\text{低次项}]$$s(x) = - x^{2n+2} + a_0 x^{2n} + [\text{低次项}]$。

所以 s(x) 的常数项是 $s(0)=p^{\ast }(0)-0=p^{\ast }(0)=1$$s(0) = p^*(0) - 0 = p^*(0) = 1$。

类似地，$m(x)\cdot h(x)$$m(x) \cdot h(x)$，当在 x = 0 处求值时，变为 $m(0)\cdot h(0)=[\prod _{k=1}^n(-k^2)][-0+c]=[(-1{)}^n{k}_1^2{k}_2^2\cdots k_n^2]c$$m(0) \cdot h(0) = \left[\prod_{k=1}^n (- k^2 )\right] [-0 + c] = \left[( -1 )^n k_1^2 k_2^2 \cdots k_n^2\right] c$。

但由于 k = 1 到 n，$k^2$$k^2$ 的乘积是

等等，抱歉，实际上，$\prod _{k=1}^n{k}^2=(n!{)}^2$$\prod_{k=1}^n k^2 = (n!)^2$

所以 $m(0)=(-1{)}^n(n!{)}^2$$m(0) = (-1)^n (n!)^2$。

因此，$m(0)h(0)=(-1{)}^n(n!{)}^2(0+c)=(-1{)}^n(n!{)}^{2}c$$m(0) h(0) = (-1)^n (n!)^2 (0 + c) = (-1)^n (n!)^2 c$。

类似地，s(0) = 1。

所以我们有：

s(0) = m(0)h(0)。

$1=(-1{)}^n(n!{)}^{2}c$$1 = (-1)^n (n!)^2 c$。

因此，

$c=\frac{1}{(-1{)}^n(n!{)}^2}=(-1{)}^n\left[\frac{1}{(n!{)}^2}\right]=(-1{)}^n\left[\frac{1}{(n!{)}^2}\right]$$c = \frac{1}{(-1)^n (n!)^2} = (-1)^n \left[\frac{1}{(n!)^2}\right] = (-1)^n \left[\frac{1}{(n!)^2}\right]$。

等等，但 $c=a_0$$c = a_0$。

但我们之前有 $c=a_0$$c = a_0$。

因此，$a_0=(-1{)}^n\frac{1}{(n!{)}^2}$$a_0 = (-1)^n \frac{1}{(n!)^2}$。

但由于 $c=a_0$$c = a_0$，

因此，我们已经确定了 c。

类似地，也许我们可以找到更多关于 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 的信息。

但也许我们可以做得更好。

另外，由于 $p^{\ast }(x)-x^{2n+2}=s(x)=m(x)h(x)$$p^*(x) - x^{2n+2} = s(x) = m(x) h(x)$，

给定 $m(x)=\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)=x^{2n}-(\text{平方和})x^{2n-2}+\cdots +(-1{)}^n(n!{)}^2$$m(x) = \prod_{k=1}^n (x^2 - k^2) = x^{2n} - (\text{平方和}) x^{2n-2} + \cdots + (-1)^n (n!)^2$，

类似地，$t(x)=p^{\ast }(x)$$t(x) = p^*(x)$。

给定 $p^{\ast }(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)=x^{2n}(x^{-2n}+a_{2n-1}{x}^{-2n+1}+\cdots +a_0)$$p^*(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right) = x^{2n} \left( x^{-2n} + a_{2n-1} x^{-2n+1} + \cdots + a_0 \right)$，

因此，$p^{\ast }(x)=1+a_{2n-1}x+a_{2n-2}{x}^2+\cdots +a_0{x}^{2n}$$p^*(x) = 1 + a_{2n-1} x + a_{2n-2} x^2 + \cdots + a_0 x^{2n}$。

因此，$p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 是 2n 次。

类似地，$s(x)=p^{\ast }(x)-x^{2n+2}$$s(x) = p^*(x) - x^{2n+2}$。

现在，如果我们考虑 $p^{\ast }(x)=x^{2n+2}-m(x)h(x)$$p^*(x) = x^{2n+2} - m(x) h(x)$。

等等，但那看起来很混乱。

另外，由于 $s(x)=m(x)h(x)=[x^{2n}+\cdots +(-1{)}^n(n!{)}^2](-x^2+c)$$s(x) = m(x) h(x) = [x^{2n} + \cdots + (-1)^n (n!)^2] (-x^2 + c)$，

为了找到 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$，我们可以写：

$p^{\ast }(x)=s(x)+x^{2n+2}=[m(x)h(x)]+x^{2n+2}$$p^*(x) = s(x) + x^{2n+2} = [m(x) h(x)] + x^{2n+2}$。

因此，$p^{\ast }(x)=[m(x)h(x)]+x^{2n+2}$$p^*(x) = [m(x) h(x)] + x^{2n+2}$。

然后，$p^{\ast }(x)=[m(x)(-x^2+c)]+x^{2n+2}$$p^*(x) = [m(x)(-x^2 + c)] + x^{2n+2}$。

所以 $p^{\ast }(x)=[m(x)(-x^2+c)]+x^{2n+2}$$p^*(x) = [m(x)(-x^2 + c)] + x^{2n+2}$。

但 $x^{2n+2}=x^2{x}^{2n}$$x^{2n+2} = x^2 x^{2n}$。

但 m(x) 是 2n 次，我们可以写 $x^{2n+2}=x^2{x}^{2n}$$x^{2n+2} = x^2 x^{2n}$。

所以 $p^{\ast }(x)=-m(x)x^2+cm(x)+x^2{x}^{2n}$$p^*(x) = -m(x) x^2 + c m(x) + x^2 x^{2n}$。

但 $m(x)x^2=x^{2}m(x)=x^2(x^{2n}+\cdots )$$m(x) x^2 = x^2 m(x) = x^2 (x^{2n} + \cdots)$。

所以让我们计算 $p^{\ast }(x)=-x^{2}m(x)+cm(x)+x^{2n+2}$$p^*(x) = -x^2 m(x) + c m(x) + x^{2n+2}$。

但 $x^{2n+2}=x^2{x}^{2n}$$x^{2n+2} = x^2 x^{2n}$，所以：

$p^{\ast }(x)=-x^{2}m(x)+cm(x)+x^2{x}^{2n}$$p^*(x) = -x^2 m(x) + c m(x) + x^2 x^{2n}$。

现在 m(x) 是 2n 次首一多项式：$m(x)=x^{2n}+\cdots +(-1{)}^n(n!{)}^2$$m(x) = x^{2n} + \cdots + (-1)^n (n!)^2$。

所以 $x^{2}m(x)=x^2{x}^{2n}+\text{低次项}$$x^2 m(x) = x^2 x^{2n} + \text{低次项}$。

因此，$x^{2}m(x)=x^{2n+2}+\text{低次项}$$x^2 m(x) = x^{2n+2} + \text{低次项}$。

类似地，$x^2{x}^{2n}=x^{2n+2}$$x^2 x^{2n} = x^{2n+2}$。

所以 $p^{\ast }(x)=-x^{2}m(x)+cm(x)+x^2{x}^{2n}=[-x^{2}m(x)+x^2{x}^{2n}]+cm(x)$$p^*(x) = -x^2 m(x) + c m(x) + x^2 x^{2n} = [-x^2 m(x) + x^2 x^{2n}] + c m(x)$。

但 $x^2{x}^{2n}=x^{2n+2}=x^2{m}_0{x}^{2n}$$x^2 x^{2n} = x^{2n+2} = x^2 m_0 x^{2n}$（因为 $m_0$$m_0$ 是 m(x) 的首项系数，等于 1）。

因此，$-x^{2}m(x)+x^2{x}^{2n}=-x^2[m(x)-x^{2n}]$$-x^2 m(x) + x^2 x^{2n} = -x^2 [m(x) - x^{2n}]$。

但 $m(x)-x^{2n}=\text{低次项}$$m(x) - x^{2n} = \text{低次项}$。

因此，$-x^{2}m(x)+x^{2n+2}=-x^2[m(x)-x^{2n}]$$-x^2 m(x) + x^{2n+2} = -x^2 [m(x) - x^{2n}]$。

因此，$p^{\ast }(x)=-x^2[m(x)-x^{2n}]+cm(x)$$p^*(x) = -x^2 [m(x) - x^{2n}] + c m(x)$。

因此，$p^{\ast }(x)=-x^2[m(x)-x^{2n}]+cm(x)$$p^*(x) = -x^2 [m(x) - x^{2n}] + c m(x)$。但 $m(x)-x^{2n}=\text{低次项}$$m(x) - x^{2n} = \text{低次项}$。

类似地，$p^{\ast }(x)=-x^2[\text{低次项}]+cm(x)$$p^*(x) = -x^2 [\text{低次项}] + c m(x)$。

所以 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 中 2n+1 次项来自 $-x^2[m_{2n-1}{x}^{2n-1}]$$-x^2 [m_{2n-1} x^{2n-1}]$ 加上 cm(x)。

但 $p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 次数 $\le 2n$$\leq 2n$。

因此，$p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 的次数 $\le 2n$$\leq 2n$。

类似地，$p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 中最高次项是 $x^{2n}$$x^{2n}$。

但从我们之前的表达式，$p^{\ast }(x)=-x^2[m(x)-x^{2n}]+cm(x)$$p^*(x) = -x^2 [m(x) - x^{2n}] + c m(x)$。

但经过简化，首项是 $c{x}^{2n}$$cx^{2n}$。

等等，我认为这变得太混乱了。

也许我应该考虑 m(x) 在 x = 0 处的具体值。

我们已经考虑过

s(0) = 1。

类似地，$m(0)=(-1{)}^n(n!{)}^2$$m(0) = (-1)^n (n!)^2$。

因此，我们确立了：$1=s(0)=m(0)h(0)$$1 = s(0) = m(0) h(0)$。

但 $h(0)=0+c=c$$h(0) = 0 + c = c$。

所以 $c=\frac{s(0)}{m(0)}=\frac{1}{(-1{)}^n(n!{)}^2}=\frac{(-1{)}^n}{(n!{)}^2}$$c = \frac{s(0)}{m(0)} = \frac{1}{(-1)^n (n!)^2} = \frac{(-1)^n}{(n!)^2}$。

所以 $c=\frac{(-1{)}^n}{(n!{)}^2}$$c = \frac{(-1)^n}{(n!)^2}$。

类似地，我们有 $c=a_0$$c = a_0$。

因此，$a_0=c=\frac{(-1{)}^n}{(n!{)}^2}$$a_0 = c = \frac{(-1)^n}{(n!)^2}$。

因此，$p^{\ast }(x)$$p^*(x)$ 中的常数项是 $p^{\ast }(0)=1$$p^*(0) = 1$。

所以我们有 $p^{\ast }(0)=1$$p^*(0) = 1$。

类似地，$s(0)=p^{\ast }(0)-0=1$$s(0) = p^*(0) - 0 = 1$。

所以一致。

但也许这是我们在没有具体计算的情况下能走得最远的地方。

另外，问题是找到所有满足 $p\left(\frac{1}{x}\right)=x^2$$p\left(\frac{1}{x}\right) = x^2$ 的实数 x。

给定 $p(1/k)=k^2$$p(1/k) = k^2$ 对 $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$k = \pm 1, \pm 2, …, \pm n$ 成立

我们可能会推测唯一的实数解是 $x=\pm (n+1),\pm (n+2),\dots$$x = \pm ( n + 1 ), \pm ( n + 2 ), …$

但由于 $p(1/x)-x^2=0$$p(1/x) - x^2 = 0$，且给出了 $p(1/x)$$p(1/x)$，也许所有解 x 满足 $p(1/x)=x^2$$p(1/x) = x^2$

但我们可以表示 $q(x)=p(1/x)-x^2$$q(x) = p(1/x) - x^2$

但 q(x) 在 $x=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$x = \pm 1, \pm 2, …, \pm n$ 处有根

类似地，我们正在寻找的解是 q(x) 的零点

因此，$q(x)=\frac{s(x)}{x^{2n}}$$q(x) = \frac{s(x)}{x^{2n}}$

但 $s(x)=x^{2n}q(x)$$s(x) = x^{2n} q(x)$

类似地，$s(x)=m(x)h(x)$$s(x) = m(x) h(x)$，其中 $h(x)=-x^2+c$$h(x) = - x^2 + c$

所以 q(x) 的零点是 s(x) 的 2n+2 次零点减去 x = 0 处的 2n 重零点（因为 $s(x)=x^{2n}q(x)$$s(x) = x^{2n} q(x)$）

因此，q(x) 的零点是 s(x) 的零点，不包括 x = 0

因此，q(x) 的零点是 $x=\pm 1,\dots ,\pm n$$x = \pm 1, …, \pm n$，以及 h(x) 的零点

但 $h(x)=-x^2+c=0$$h(x) = - x^2 + c = 0$

所以其他零点是 $-x^2+c=0$$- x^2 + c = 0$ 的解

所以解 $-x^2+c=0$$- x^2 + c = 0$

即，$x^2=c$$x^2 = c$

因此，$x=\pm \sqrt{c}$$x = \pm \sqrt{c}$

但 $c=\frac{(-1{)}^n}{(n!{)}^2}$$c = \frac{(-1)^n}{( n! )^2}$

所以 $c=\frac{(-1{)}^n}{(n!{)}^2}$$c = \frac{(-1)^n}{( n! )^2}$

因此，当 n 是偶数时 c > 0，因为 $(-1{)}^n=1$$(-1)^n = 1$

因此，当 n 是偶数时，$c=\frac{1}{(n!{)}^2}>0$$c = \frac{1}{( n! )^2} > 0$

因此，c > 0

因此，$x^2=c$$x^2 = c$ 有实数解 $x=\pm \sqrt{c}$$x = \pm \sqrt{c}$

因此，$p(1/x)=x^2$$p(1/x) = x^2$ 的其他实数解是 $x=\pm \sqrt{c}$$x = \pm \sqrt{c}$

类似地，当 n 是偶数时，c > 0

因此，满足 $p(1/x)=x^2$$p(1/x) = x^2$ 的其他实数 x 是 $x=\pm \sqrt{c}=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \sqrt{c} = \pm \frac{1}{n!}$

因此，其他实数 x 是 $x=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \frac{1}{n!}$

等等，等等，$x^2=c$$x^2 = c$，所以 $x=\pm \sqrt{\frac{1}{(n!{)}^2}}=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \sqrt{\frac{1}{( n! )^2}} = \pm \frac{1}{n!}$

因此，其他实数 x 是 $x=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \frac{1}{n!}$

所以总结一下，满足 $p(1/x)=x^2$$p(1/x) = x^2$ 的数 x 是 $x=\pm k$$x = \pm k$，其中 k = 1 到 n，以及 $x=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \frac{1}{n!}$

因此，其他实数 x 是 $\pm \frac{1}{n!}$$\pm \frac{1}{n!}$

所以答案是 $x=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \frac{1}{n!}$（以及 $x=\pm k$$x = \pm k$，其中 k = 1 到 n）

等等，但问题说"假设对于所有满足 $1\le |k|\le n$$1 \leq |k| \leq n$ 的整数 k，有 $p(1/k)=k^2$$p(1/k) = k^2$。找出所有其他满足 $p(1/x)=x^2$$p(1/x) = x^2$ 的实数 x"

因此，除了 $x=\pm k$$x = \pm k$（这些已经给出），其他实数是 $x=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \frac{1}{n!}$

等等，但当 n 是偶数时，$c=\frac{(-1{)}^n}{(n!{)}^2}=\frac{1}{(n!{)}^2}$$c = \frac{(-1)^n}{( n! )^2} = \frac{1}{( n! )^2}$

因此，$c=\frac{1}{(n!{)}^2}$$c = \frac{1}{( n! )^2}$

因此，$x^2=c\Rightarrow x=\pm \frac{1}{n!}$$x^2 = c \Rightarrow x = \pm \frac{1}{n!}$

因此，其他实数是 $x=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \frac{1}{n!}$

答案：满足 $p(1/x)=x^2$$p(1/x) = x^2$ 的其他实数 x 是 $x=\pm \frac{1}{n!}$$x = \pm \frac{1}{n!}$

解答

要解决这个问题，我们需要找到所有满足以下条件的实数 $x$$x$：

$p\left(\frac{1}{x}\right)=x^2,$$p\left(\frac{1}{x}\right) = x^2,$

其中 $p$$p$ 是一个首一实系数多项式，次数为 $2n$$2n$，并且已知对于所有整数 $k$$k$（$1\le |k|\le n$$1 \leq |k| \leq n$）都有：

$p\left(\frac{1}{k}\right)=k^2$$p\left(\frac{1}{k}\right) = k^2$

理解给定信息：

1. 已知数据点： 我们有 $2n$$2n$ 个数据点，从 $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$k = \pm1, \pm2, \dots, \pm n$，这些点提供了 $p\left(\frac{1}{k}\right)=k^2$$p\left(\frac{1}{k}\right) = k^2$ 的值。

2. 多项式函数： $p(x)$$p(x)$ 是次数为 $2n$$2n$ 的首一多项式，这意味着其最高次项系数为 1。

定义新多项式：

让我们定义一个新函数

$q(x)=p\left(\frac{1}{x}\right)-x^2.$$q(x) = p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2.$

我们的目标是找到 $q(x)=0$$q(x) = 0$ 的所有实数解。

$q(x)$$q(x)$ 的性质：

• 由于 $p$$p$ 是次数为 $2n$$2n$ 的多项式，$p\left(\frac{1}{x}\right)$$p\left(\frac{1}{x}\right)$ 可以用 $x$$x$ 的幂表示。

• 函数 $q(x)$$q(x)$ 在 $x=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$x = \pm1, \pm2, \dots, \pm n$ 处有零点，因为 $q(k)=p\left(\frac{1}{k}\right)-k^2=0$$q(k) = p\left(\frac{1}{k}\right) - k^2 = 0$。

构造 $s(x)$$s(x)$：

考虑多项式

$s(x)=x^{2n}q(x)=x^{2n}(p\left(\frac{1}{x}\right)-x^2).$$s(x) = x^{2n} q(x) = x^{2n} \left(p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2\right).$

乘以 $x^{2n}$$x^{2n}$ 消除了分母，使 $s(x)$$s(x)$ 成为一个多项式。

因式分解 $s(x)$$s(x)$：

我们知道 $s(x)$$s(x)$ 在 $x=\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$x = \pm1, \pm2, \dots, \pm n$ 处有根。因此，$s(x)$$s(x)$ 可以表示为：

$s(x)=m(x)h(x),$$s(x) = m(x) h(x),$

其中 $m(x)=\prod _{k=1}^n(x^2-k^2)$$m(x) = \prod_{k=1}^n \left(x^2 - k^2\right)$ 是一个次数为 $2n$$2n$ 的首一多项式，其根为 $\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm n$$\pm1, \pm2, \dots, \pm n$，而 $h(x)$$h(x)$ 是一个二次多项式。

确定 $h(x)$$h(x)$：

我们考虑 $h(x)$$h(x)$ 为一个二次多项式：

$h(x)=-x^2+c,$$h(x) = -x^2 + c,$

其中 $c$$c$ 是待定常数。

匹配系数：

• $s(x)$$s(x)$ 的最高次项是 $-x^{2n+2}$$-x^{2n+2}$。

• $m(x)h(x)$$m(x) h(x)$ 的最高次项是 $(x^{2n})(-x^2)=-x^{2n+2}$$(x^{2n})(-x^2) = -x^{2n+2}$，确保次数匹配。

• 比较 $s(x)$$s(x)$ 在 $x=0$$x = 0$ 处的常数项：

$s(0)=p^{\ast }(0)-0=1,\text{ 其中 }{p}^{\ast }(x)=x^{2n}p\left(\frac{1}{x}\right)$$s(0) = p^*(0) - 0 = 1 ,\text{ 其中 } p^*(x) = x^{2n} p\left(\frac{1}{x}\right)$。

• 计算 $m(0)$$m(0)$ 和 $h(0)$$h(0)$：

• $m(0)=(-1{)}^n(n!{)}^2$$m(0) = (-1)^n (n!)^2$。

• $h(0)=-0+c=c$$h(0) = -0 + c = c$。

• 由于 $s(0)=m(0)h(0)$$s(0) = m(0) h(0)$：

$1=(-1{)}^n(n!{)}^{2}c,$$1 = (-1)^n (n!)^2 c,$