数学问题
设 为一个偶数正整数。设 为一个次数为 的单项式实系数多项式;也就是说,
对于一些实系数 。
假设 对所有整数 成立,其中 1 。
求所有其他实数 使得
。
思考
我们被告知对于所有满足 的整数 k 值,有:
我们的问题是:已知 p 是 2n 次的首一多项式,且对 有 ,求所有其他满足 的实数 x。
换句话说,我们要找到所有满足 的实数 x。
首先,注意到:
• p(x) 是 2n 次的首一多项式。
• 我们有 2n 个数据点:对于 到 ,有 。
但是有 2n 个不同的 值(因为 k 取遍整数 到 ,且它们是不同的)。
因此,我们有 2n 个形如 的点 (x,y)。
所以,p 是一个 2n 次多项式,对 2n 个 值满足 。
等等,但 。
我们的方程是 。
让我定义 。
我们的任务是找到所有使得 q(x) = 0 的实数 x。
根据问题给出的数据,让我们考虑 ,对 。
因此,q(k) = 0 对 成立。
此外,由于 p 是 2n 次多项式,那么 作为 x 的函数时是一个 2n 次有理函数。
但我们可以考虑 。
另外,让我们考虑 。
让我解释:我们可以考虑 。
然后乘以 得到:
。
同样地,。
因此,定义多项式 。
但等等,也许重新排列更好。
让我考虑 。
所以 。
由于对 ,q(k) = 0,我们有 q(k) = 0。
因此,。
因此,s(k) = 0 在 处。
因此,s(x) 是一个多项式(不是有理函数),因为 是一个多项式。
此外,。
但 。
等等,但 是 p(x) 的"倒数多项式",在 x 处求值。
但由于 p(x) 是 2n 次首一多项式,它的倒数多项式也是 2n 次首一多项式。
因此,设 。
让我写 。
是 p(x) 的反转多项式。
。
那么 。
所以 ,p 的倒数多项式。
因此,。
但 。
因此,。
我们现在可以写 。
另外,。
但 ,且 。
但我们的关键是 。
回想一下 q(k) = 0 对 成立。
因此,s(k) = 0 在 处。
因此,s(x) 是一个在 处消失的多项式。
s(x) 在 处有根。
因此,s(x) 必须能被以 为根的首一多项式整除。
因此,,
其中 。
等等,即 。
因此,。
因此,m(x) 是一个 2n 次首一多项式。
类似地,由于 s(x) 的次数...
让我计算 s(x) 的次数:
由于 ,
计算 。
我们有 。
然后 。
所以 t(x) 是一个 2n 次多项式。
呢?
所以 。
因此,s(x) 是一个次数为 的多项式
所以 s(x) 的次数是 2n+2。
但 t(x) 的次数是 2n。
所以 。
所以 s(x) 的首项是 。
因此,s(x) 是一个 2n+2 次多项式,首项系数为 -1。
所以 。
类似地,。
因此,如果我们因式分解 ,
由于 s(x) 是 2n+2 次且 m(x) 是 2n 次,h(x) 必须是 2 次。
因此,h(x) 是一个二次多项式。
我们的计划是写 。
考虑到 s(x) 是 2n+2 次且首项系数为 -1,
类似地,m(x) 是 2n 次首一多项式。
因此,h(x) 必须是 2 次多项式且首项系数为 -1。
因此,h(x) 必须是 的形式。
另外,由于 ,
我们可以写 。
同时,(因为它是 2n 次首一多项式)。
类似地,。
那么 。
因此,s(x) 的首项是 ,这是匹配的。
因此,我们关于 h(x) 是 2 次且首项系数为 -1 的断言是一致的。
因此,。
我们现在的任务是找到 b 和 c。
所以我们有:
且 。
将 s(x) 的表达式等同。
另外,让我们考虑 。
那么 。
因此,。
因此,。
但 是 2n 次且 是 2n+2 次,所以它们的差是 2n+2 次。
现在,记住 是 次。
因此,左边 。
等等,但 项的次数比 高,所以 s(x) 的首项是 。
类似地,右边 。
现在,让我们写 。
类似地,。
计算 。
和 的乘积给出 。
类似地,,
且 。
因此,我们得到:
。
类似地,。
因此,为了使高次项匹配,。
等等,但从 s(x) 的定义,我们有:
。
但 。
因此,t(x) 是次数 的多项式。
因此,。
因此,s(x) 的最高次项是 ,其余是低次项。
因此,。
所以匹配项:
从 m(x)h(x):
• s(x) 的首项:
• 第二项:
• 第三项:。
但从 ,且 的次数 。
因此,s(x) 中没有 项,除非 t(x) 贡献,但 t(x) 的次数 。
鉴于 ,
因此,。
类似地,从 m(x)h(x) 的计算:
。
所以从上面,s(x) 中 的系数是 b。
但根据 , 项是缺失的(因为 的次数 )。
因此,s(x) 没有 项。
因此,s(x) 中 的系数为零。
因此,b = 0。
类似地,让我们现在比较 s(x) 中 的系数,即 。
类似地,从 ,
所以 s(x) 中 的系数是 。
但 。
所以 。
但 的次数 。
因此,s(x) 中的 项由 中的 项给出,即 。
所以 。
因此,比较系数,s(x) 中 的系数是 。
因此,。
所以 。
所以我们有 。
但我们已经有 b = 0。
因此,。
我们现在可以写:。
类似地,。
我们可能能够计算表达式 并匹配 的系数。
让我首先考虑 。
类似地,。
因此,。
但 。
因此,。
因此,。
因此,。
所以我们已经确认 。
但下一项呢?让我们考虑匹配下一个系数。
计算 。
s(x) 中 的项是由以下乘积产生的:
• m(x) 中的 项乘以
• m(x) 中的 项乘以 c。
让我写 。
类似地,。
等等,实际上,没有具体的项,这可能对我们没有直接帮助。
另一种方法是考虑已知的多项式。
所以 。
类似地,。
现在,考虑 。
类似地,分别展开 和 。
让我计算 。
由于 m(x) 是 2n 次首一多项式,其最高次项是 。
因此,。
类似地,。
因此,。
类似地,从 s(x) 的定义,。
但从 。
由于 ,
因此,。
但这似乎与我们先前的断言 相矛盾。
等等,也许我们需要在这里小心。
让我试着重写 s(x)。
给定 ,
因此,。
所以 。
所以 s(x) 的常数项是 。
类似地,,当在 x = 0 处求值时,变为 。
但由于 k = 1 到 n, 的乘积是
等等,抱歉,实际上,
所以 。
因此,。
类似地,s(0) = 1。
所以我们有:
s(0) = m(0)h(0)。
。
因此,
。
等等,但 。
但我们之前有 。
因此,。
但由于 ,
因此,我们已经确定了 c。
类似地,也许我们可以找到更多关于 的信息。
但也许我们可以做得更好。
另外,由于 ,
给定 ,
类似地,。
给定 ,
因此,。
因此, 是 2n 次。
类似地,。
现在,如果我们考虑 。
等等,但那看起来很混乱。
另外,由于 ,
为了找到 ,我们可以写:
。
因此,。
然后,。
所以 。
但 。
但 m(x) 是 2n 次,我们可以写 。
所以 。
但 。
所以让我们计算 。
但 ,所以:
。
现在 m(x) 是 2n 次首一多项式:。
所以 。
因此,。
类似地,。
所以 。
但 (因为 是 m(x) 的首项系数,等于 1)。
因此,。
但 。
因此,。
因此,。
因此,。但 。
类似地,。
所以 中 2n+1 次项来自 加上 cm(x)。
但 次数 。
因此, 的次数 。
类似地, 中最高次项是 。
但从我们之前的表达式,。
但经过简化,首项是 。
等等,我认为这变得太混乱了。
也许我应该考虑 m(x) 在 x = 0 处的具体值。
我们已经考虑过
s(0) = 1。
类似地,。
因此,我们确立了:。
但 。
所以 。
所以 。
类似地,我们有 。
因此,。
因此, 中的常数项是 。
所以我们有 。
类似地,。
所以一致。
但也许这是我们在没有具体计算的情况下能走得最远的地方。
另外,问题是找到所有满足 的实数 x。
给定 对 成立
我们可能会推测唯一的实数解是
但由于 ,且给出了 ,也许所有解 x 满足
但我们可以表示
但 q(x) 在 处有根
类似地,我们正在寻找的解是 q(x) 的零点
因此,
但
类似地,,其中
所以 q(x) 的零点是 s(x) 的 2n+2 次零点减去 x = 0 处的 2n 重零点(因为 )
因此,q(x) 的零点是 s(x) 的零点,不包括 x = 0
因此,q(x) 的零点是 ,以及 h(x) 的零点
但
所以其他零点是 的解
所以解
即,
因此,
但
所以
因此,当 n 是偶数时 c > 0,因为
因此,当 n 是偶数时,
因此,c > 0
因此, 有实数解
因此, 的其他实数解是
类似地,当 n 是偶数时,c > 0
因此,满足 的其他实数 x 是
因此,其他实数 x 是
等等,等等,,所以
因此,其他实数 x 是
所以总结一下,满足 的数 x 是 ,其中 k = 1 到 n,以及
因此,其他实数 x 是
所以答案是 (以及 ,其中 k = 1 到 n)
等等,但问题说"假设对于所有满足 的整数 k,有 。找出所有其他满足 的实数 x"
因此,除了 (这些已经给出),其他实数是
等等,但当 n 是偶数时,
因此,
因此,
因此,其他实数是
答案:满足 的其他实数 x 是
解答
要解决这个问题,我们需要找到所有满足以下条件的实数 :
其中 是一个首一实系数多项式,次数为 ,并且已知对于所有整数 ()都有:
理解给定信息:
已知数据点: 我们有 个数据点,从 ,这些点提供了 的值。
多项式函数: 是次数为 的首一多项式,这意味着其最高次项系数为 1。
定义新多项式:
让我们定义一个新函数
我们的目标是找到 的所有实数解。
的性质:
由于 是次数为 的多项式, 可以用 的幂表示。
函数 在 处有零点,因为 。
构造 :
考虑多项式
乘以 消除了分母,使 成为一个多项式。
因式分解 :
我们知道 在 处有根。因此, 可以表示为:
其中 是一个次数为 的首一多项式,其根为 ,而 是一个二次多项式。
确定 :
我们考虑 为一个二次多项式:
其中 是待定常数。
匹配系数:
。
计算 和 :
。
。
由于 :
这给出:
寻找额外解:
解 :
因为 。
结论:
满足 的额外实数 是 。