数学问题

n 为一个偶数正整数。设 p 为一个次数为 2n 的单项式实系数多项式;也就是说,

p(x)=x2n+a2n1x2n1++a1x+a0

对于一些实系数 a0,,a2n1

假设 p(1k)=k2 对所有整数 k 成立,其中 1 |k|n

求所有其他实数 x 使得 p(1x)=x2

思考

我们被告知对于所有满足 1|k|n 的整数 k 值,有:

p(1k)=k2

我们的问题是:已知 p 是 2n 次的首一多项式,且对 k=±1,±2,,±np(1k)=k2,求所有其他满足 p(1x)=x2 的实数 x。

换句话说,我们要找到所有满足 p(1x)=x2 的实数 x。

首先,注意到:

• p(x) 是 2n 次的首一多项式。

• 我们有 2n 个数据点:对于 k=±1±n,有 p(1k)=k2

但是有 2n 个不同的 1k 值(因为 k 取遍整数 ±1±n,且它们是不同的)。

因此,我们有 2n 个形如 (1k,k2) 的点 (x,y)。

所以,p 是一个 2n 次多项式,对 2n 个 1k 值满足 p(1k)=k2

等等,但 p(1x)x2=0

我们的方程是 p(1x)x2=0

让我定义 q(x)=p(1x)x2

我们的任务是找到所有使得 q(x) = 0 的实数 x。

根据问题给出的数据,让我们考虑 q(k)=p(1k)k2=0,对 k=±1,±2,,±n

因此,q(k) = 0 对 k=±1,,±n 成立。

此外,由于 p 是 2n 次多项式,那么 p(1x) 作为 x 的函数时是一个 2n 次有理函数。

但我们可以考虑 q(x)=p(1x)x2

另外,让我们考虑 s(x)=x2np(1x)x2n+2

让我解释:我们可以考虑 p(1x)=x2n+a2n1x2n+1++a0

然后乘以 x2n 得到:

x2np(1x)=1+a2n1x+a2n2x2++a0x2n

同样地,x2n+2=x2n+2

因此,定义多项式 s(x)=x2np(1x)x2n+2

但等等,也许重新排列更好。

让我考虑 s(x)=x2n[p(1x)x2]=x2nq(x)

所以 s(x)=x2nq(x)

由于对 k=±1,,±n,q(k) = 0,我们有 q(k) = 0。

因此,s(k)=k2nq(k)=0

因此,s(k) = 0 在 x=±1,±2,,±n 处。

因此,s(x) 是一个多项式(不是有理函数),因为 x2nq(x) 是一个多项式。

此外,s(x)=x2n[p(1x)x2]=x2np(1x)x2n+2

x2np(1x)=[x2n][p(1x)]=p(x)

等等,但 x2np(1x) 是 p(x) 的"倒数多项式",在 x 处求值。

但由于 p(x) 是 2n 次首一多项式,它的倒数多项式也是 2n 次首一多项式。

因此,设 t(x)=x2np(1x)

让我写 t(x)=x2np(1x)=P(x)

P(x) 是 p(x) 的反转多项式。

p(x)=x2n+a2n1x2n1++a0

那么 t(x)=x2np(1x)=x2n[(1x)2n+a2n1(1x)2n1++a0]=1+a2n1x+a2n2x2++a0x2n

所以 t(x)=p(x),p 的倒数多项式。

因此,s(x)=t(x)x2n+2=[1+a2n1x+a2n2x2++a0x2n]x2n+2

x2n+2=x2n+2

因此,s(x)=p(x)x2n+2

我们现在可以写 s(x)=p(x)x2n+2

另外,p(x)x2n+2=s(x)

t(x)=p(x),且 s(x)=t(x)x2n+2

但我们的关键是 s(x)=x2nq(x)

回想一下 q(k) = 0 对 k=±1,±2,,±n 成立。

因此,s(k) = 0 在 x=±1,,±n 处。

因此,s(x) 是一个在 x=±1,±2,,±n 处消失的多项式。

s(x) 在 x=±1,,±n 处有根。

因此,s(x) 必须能被以 ±1,±2,,±n 为根的首一多项式整除。

因此,s(x)=m(x)h(x)

其中 m(x)=(x(n))(x(n+1))(x(1))(x(1))(xn)

等等,即 m(x)=k=1n(xk)(x+k)=k=1n(x2k2)

因此,m(x)=k=1n(x2k2)=k=1n(x2k2)

因此,m(x) 是一个 2n 次首一多项式。

类似地,由于 s(x) 的次数...

让我计算 s(x) 的次数:

由于 s(x)=x2np(1x)x2n+2

计算 t(x)=x2np(1x)

我们有 p(x)=x2n+a2n1x2n1++a0

然后 t(x)=x2np(1x)=x2n[(1x)2n+a2n1(1x)2n1++a0]=1+a2n1x+a2n2x2++a0x2n

所以 t(x) 是一个 2n 次多项式。

x2n+2 呢?

所以 s(x)=t(x)x2n+2

因此,s(x) 是一个次数为 max(度数为 t(x),x2n+2的度数)=degree(x2n+2) 的多项式

所以 s(x) 的次数是 2n+2。

但 t(x) 的次数是 2n。

所以 s(x)=[2n 次多项式](2n+2) 次单项式=x2n+2+[次数 2n 的多项式]

所以 s(x) 的首项是 x2n+2

因此,s(x) 是一个 2n+2 次多项式,首项系数为 -1。

所以 s(x)=x2n+2+低次项

类似地,m(x)=k=1n(x2k2)=2n 次首一多项式

因此,如果我们因式分解 s(x)=m(x)h(x)

由于 s(x) 是 2n+2 次且 m(x) 是 2n 次,h(x) 必须是 2 次。

因此,h(x) 是一个二次多项式。

我们的计划是写 s(x)=m(x)h(x)

考虑到 s(x) 是 2n+2 次且首项系数为 -1,

类似地,m(x) 是 2n 次首一多项式。

因此,h(x) 必须是 2 次多项式且首项系数为 -1。

因此,h(x) 必须是 h(x)=x2+bx+c 的形式。

另外,由于 s(x)=m(x)h(x)

我们可以写 s(x)=(1)x2n+2+[低次项]

同时,m(x)=x2n+[低次项](因为它是 2n 次首一多项式)。

类似地,h(x)=x2+bx+c

那么 s(x)=m(x)h(x)=[x2n+](x2+bx+c)=x2n+2+[低次项]

因此,s(x) 的首项是 x2n+2,这是匹配的。

因此,我们关于 h(x) 是 2 次且首项系数为 -1 的断言是一致的。

因此,h(x)=x2+bx+c

我们现在的任务是找到 b 和 c。

所以我们有:

s(x)=m(x)h(x)=[k=1n(x2k2)](x2+bx+c)

s(x)=x2np(1x)x2n+2

将 s(x) 的表达式等同。

另外,让我们考虑 t(x)=x2np(1x)=p(x)

那么 s(x)=t(x)x2n+2=p(x)x2n+2

因此,s(x)=m(x)h(x)

因此,p(x)x2n+2=m(x)h(x)

p(x) 是 2n 次且 x2n+2 是 2n+2 次,所以它们的差是 2n+2 次。

现在,记住 p(x)2n 次。

因此,左边 p(x)x2n+2=[次数2n][2n+2 次]

等等,但 x2n+2 项的次数比 p(x) 高,所以 s(x) 的首项是 x2n+2

类似地,右边 m(x)h(x)=[2n 次]×[2 次]=2n+2 次

现在,让我们写 s(x)=x2n+2+低次项

类似地,m(x)h(x)=x2n(x2+bx+c)+低次项

计算 m(x)h(x)=(x2n+低次项)(x2+bx+c)

x2nx2 的乘积给出 x2n+2

类似地,x2n×bx=bx2n+1

x2n×c=cx2n

因此,我们得到:

s(x)=m(x)h(x)=(x2n+2)+bx2n+1+cx2n+[低次项]

类似地,s(x)=x2n+2+[低次项]

因此,为了使高次项匹配,s(x)=x2n+2+bx2n+1+cx2n+[低次项]

等等,但从 s(x) 的定义,我们有:

s(x)=[t(x)]x2n+2=[t(x) 的首项]x2n+2

t(x)=p(x)=1+a2n1x+a2n2x2++a0x2n

因此,t(x) 是次数 2n 的多项式。

因此,s(x)=[次数2n]x2n+2=x2n+2+[次数2n]

因此,s(x) 的最高次项是 x2n+2,其余是低次项。

因此,s(x)=x2n+2+低次项

所以匹配项:

从 m(x)h(x):

• s(x) 的首项:x2n+2

• 第二项:bx2n+1

• 第三项:cx2n

但从 s(x)=p(x)x2n+2,且 p(x) 的次数 2n

因此,s(x) 中没有 x2n+1 项,除非 t(x) 贡献,但 t(x) 的次数 2n

鉴于 s(x)=x2n+2+[次数2n]

因此,s(x)=x2n+2+s2nx2n+s2n1x2n1++s0

类似地,从 m(x)h(x) 的计算:

s(x)=m(x)h(x)=[x2n+](x2+bx+c)=x2n+2+bx2n+1+cx2n+[低次项]

所以从上面,s(x) 中 x2n+1 的系数是 b。

但根据 s(x)=x2n+2+[次数2n]x2n+1 项是缺失的(因为 p(x) 的次数 2n)。

因此,s(x) 没有 x2n+1 项。

因此,s(x) 中 x2n+1 的系数为零。

因此,b = 0。

类似地,让我们现在比较 s(x) 中 x2n 的系数,即 cx2n

类似地,从 s(x)=x2n+2+s2nx2n+[低次项]

所以 s(x) 中 x2n 的系数是 s2n=c

s(x)=p(x)x2n+2

所以 s(x)=[p(x)]x2n+2

p(x) 的次数 2n

因此,s(x) 中的 x2n 项由 p(x) 中的 x2n 项给出,即 a0x2n

所以 s(x)=(x2n+2)+a0x2n+[低次项]

因此,比较系数,s(x) 中 x2n 的系数是 a0

因此,c=a0

所以 c=a0

所以我们有 h(x)=x2+c

但我们已经有 b = 0。

因此,h(x)=x2+c

我们现在可以写:s(x)=m(x)[x2+c]=[k=1n(x2k2)](x2+c)

类似地,s(x)=x2n+2+a0x2n+[低次项]

我们可能能够计算表达式 m(x)[x2+c] 并匹配 x2n 的系数。

让我首先考虑 m(x)=x2n+[低次项]

类似地,m(x)(x2+c)=x2n+2+cx2n+[低次项]

因此,s(x)=x2n+2+cx2n+[低次项]

s(x)=x2n+2+a0x2n+[低次项]

因此,cx2n=a0x2n

因此,c=a0

因此,c=a0

所以我们已经确认 c=a0

但下一项呢?让我们考虑匹配下一个系数。

计算 m(x)(x2+c)=x2n+2+cx2n+[低次项]

s(x) 中 x2n2 的项是由以下乘积产生的:

• m(x) 中的 x2n2 项乘以 x2

• m(x) 中的 x2n2 项乘以 c。

让我写 m(x)=x2n+m2n2x2n2+低次项

类似地,m(x)(x2)=(x2n+2+m2n2x2n+低次项)

等等,实际上,没有具体的项,这可能对我们没有直接帮助。

另一种方法是考虑已知的多项式。

所以 m(x)=k=1n(x2k2)

类似地,s(x)=m(x)[x2+c]

现在,考虑 s(x)=[x2n+2]+cx2n+[低次项]

类似地,分别展开 m(x)[x2]m(x)c

让我计算 m(x)(x2)

由于 m(x) 是 2n 次首一多项式,其最高次项是 x2n

因此,m(x)(x2)=x2n+2+低次项

类似地,m(x)c=cx2n+低次项

因此,s(x)=[x2n+2]+cx2n+[低次项]

类似地,从 s(x) 的定义,s(x)=[x2n+2]+s2nx2n+s2n1x2n1+

但从 s(x)=p(x)x2n+2

由于 p(x)=1+a2n1x+a2n2x2++a0x2n

因此,s(x)=[1+a2n1x+a2n2x2++a0x2n]x2n+2

但这似乎与我们先前的断言 s(x)=x2n+2+a0x2n+ 相矛盾。

等等,也许我们需要在这里小心。

让我试着重写 s(x)。

给定 t(x)=p(x)=x2np(1x)=1+a2n1x++a0x2n

因此,s(x)=t(x)x2n+2=[1+a2n1x++a0x2n]x2n+2

所以 s(x)=x2n+2+a0x2n+[低次项]

所以 s(x) 的常数项是 s(0)=p(0)0=p(0)=1

类似地,m(x)h(x),当在 x = 0 处求值时,变为 m(0)h(0)=[k=1n(k2)][0+c]=[(1)nk12k22kn2]c

但由于 k = 1 到 n,k2 的乘积是

等等,抱歉,实际上,k=1nk2=(n!)2

所以 m(0)=(1)n(n!)2

因此,m(0)h(0)=(1)n(n!)2(0+c)=(1)n(n!)2c

类似地,s(0) = 1。

所以我们有:

s(0) = m(0)h(0)。

1=(1)n(n!)2c

因此,

c=1(1)n(n!)2=(1)n[1(n!)2]=(1)n[1(n!)2]

等等,但 c=a0

但我们之前有 c=a0

因此,a0=(1)n1(n!)2

但由于 c=a0

因此,我们已经确定了 c。

类似地,也许我们可以找到更多关于 p(x) 的信息。

但也许我们可以做得更好。

另外,由于 p(x)x2n+2=s(x)=m(x)h(x)

给定 m(x)=k=1n(x2k2)=x2n(平方和)x2n2++(1)n(n!)2

类似地,t(x)=p(x)

给定 p(x)=x2np(1x)=x2n(x2n+a2n1x2n+1++a0)

因此,p(x)=1+a2n1x+a2n2x2++a0x2n

因此,p(x) 是 2n 次。

类似地,s(x)=p(x)x2n+2

现在,如果我们考虑 p(x)=x2n+2m(x)h(x)

等等,但那看起来很混乱。

另外,由于 s(x)=m(x)h(x)=[x2n++(1)n(n!)2](x2+c)

为了找到 p(x),我们可以写:

p(x)=s(x)+x2n+2=[m(x)h(x)]+x2n+2

因此,p(x)=[m(x)h(x)]+x2n+2

然后,p(x)=[m(x)(x2+c)]+x2n+2

所以 p(x)=[m(x)(x2+c)]+x2n+2

x2n+2=x2x2n

但 m(x) 是 2n 次,我们可以写 x2n+2=x2x2n

所以 p(x)=m(x)x2+cm(x)+x2x2n

m(x)x2=x2m(x)=x2(x2n+)

所以让我们计算 p(x)=x2m(x)+cm(x)+x2n+2

x2n+2=x2x2n,所以:

p(x)=x2m(x)+cm(x)+x2x2n

现在 m(x) 是 2n 次首一多项式:m(x)=x2n++(1)n(n!)2

所以 x2m(x)=x2x2n+低次项

因此,x2m(x)=x2n+2+低次项

类似地,x2x2n=x2n+2

所以 p(x)=x2m(x)+cm(x)+x2x2n=[x2m(x)+x2x2n]+cm(x)

x2x2n=x2n+2=x2m0x2n(因为 m0 是 m(x) 的首项系数,等于 1)。

因此,x2m(x)+x2x2n=x2[m(x)x2n]

m(x)x2n=低次项

因此,x2m(x)+x2n+2=x2[m(x)x2n]

因此,p(x)=x2[m(x)x2n]+cm(x)

因此,p(x)=x2[m(x)x2n]+cm(x)。但 m(x)x2n=低次项

类似地,p(x)=x2[低次项]+cm(x)

所以 p(x) 中 2n+1 次项来自 x2[m2n1x2n1] 加上 cm(x)。

p(x) 次数 2n

因此,p(x) 的次数 2n

类似地,p(x) 中最高次项是 x2n

但从我们之前的表达式,p(x)=x2[m(x)x2n]+cm(x)

但经过简化,首项是 cx2n

等等,我认为这变得太混乱了。

也许我应该考虑 m(x) 在 x = 0 处的具体值。

我们已经考虑过

s(0) = 1。

类似地,m(0)=(1)n(n!)2

因此,我们确立了:1=s(0)=m(0)h(0)

h(0)=0+c=c

所以 c=s(0)m(0)=1(1)n(n!)2=(1)n(n!)2

所以 c=(1)n(n!)2

类似地,我们有 c=a0

因此,a0=c=(1)n(n!)2

因此,p(x) 中的常数项是 p(0)=1

所以我们有 p(0)=1

类似地,s(0)=p(0)0=1

所以一致。

但也许这是我们在没有具体计算的情况下能走得最远的地方。

另外,问题是找到所有满足 p(1x)=x2 的实数 x。

给定 p(1/k)=k2k=±1,±2,,±n 成立

我们可能会推测唯一的实数解是 x=±(n+1),±(n+2),

但由于 p(1/x)x2=0,且给出了 p(1/x),也许所有解 x 满足 p(1/x)=x2

但我们可以表示 q(x)=p(1/x)x2

但 q(x) 在 x=±1,±2,,±n 处有根

类似地,我们正在寻找的解是 q(x) 的零点

因此,q(x)=s(x)x2n

s(x)=x2nq(x)

类似地,s(x)=m(x)h(x),其中 h(x)=x2+c

所以 q(x) 的零点是 s(x) 的 2n+2 次零点减去 x = 0 处的 2n 重零点(因为 s(x)=x2nq(x)

因此,q(x) 的零点是 s(x) 的零点,不包括 x = 0

因此,q(x) 的零点是 x=±1,,±n,以及 h(x) 的零点

h(x)=x2+c=0

所以其他零点是 x2+c=0 的解

所以解 x2+c=0

即,x2=c

因此,x=±c

c=(1)n(n!)2

所以 c=(1)n(n!)2

因此,当 n 是偶数时 c > 0,因为 (1)n=1

因此,当 n 是偶数时,c=1(n!)2>0

因此,c > 0

因此,x2=c 有实数解 x=±c

因此,p(1/x)=x2 的其他实数解是 x=±c

类似地,当 n 是偶数时,c > 0

因此,满足 p(1/x)=x2 的其他实数 x 是 x=±c=±1n!

因此,其他实数 x 是 x=±1n!

等等,等等,x2=c,所以 x=±1(n!)2=±1n!

因此,其他实数 x 是 x=±1n!

所以总结一下,满足 p(1/x)=x2 的数 x 是 x=±k,其中 k = 1 到 n,以及 x=±1n!

因此,其他实数 x 是 ±1n!

所以答案是 x=±1n!(以及 x=±k,其中 k = 1 到 n)

等等,但问题说"假设对于所有满足 1|k|n 的整数 k,有 p(1/k)=k2。找出所有其他满足 p(1/x)=x2 的实数 x"

因此,除了 x=±k(这些已经给出),其他实数是 x=±1n!

等等,但当 n 是偶数时,c=(1)n(n!)2=1(n!)2

因此,c=1(n!)2

因此,x2=cx=±1n!

因此,其他实数是 x=±1n!

答案:满足 p(1/x)=x2 的其他实数 x 是 x=±1n!

解答

要解决这个问题,我们需要找到所有满足以下条件的实数 x

p(1x)=x2,

其中 p 是一个首一实系数多项式,次数为 2n,并且已知对于所有整数 k1|k|n)都有:

p(1k)=k2

理解给定信息:

  1. 已知数据点: 我们有 2n 个数据点,从 k=±1,±2,,±n,这些点提供了 p(1k)=k2 的值。

  2. 多项式函数: p(x) 是次数为 2n 的首一多项式,这意味着其最高次项系数为 1。

定义新多项式:

让我们定义一个新函数

q(x)=p(1x)x2.

我们的目标是找到 q(x)=0 的所有实数解。

q(x) 的性质:

构造 s(x)

考虑多项式

s(x)=x2nq(x)=x2n(p(1x)x2).

乘以 x2n 消除了分母,使 s(x) 成为一个多项式。

因式分解 s(x)

我们知道 s(x)x=±1,±2,,±n 处有根。因此,s(x) 可以表示为:

s(x)=m(x)h(x),

其中 m(x)=k=1n(x2k2) 是一个次数为 2n 的首一多项式,其根为 ±1,±2,,±n,而 h(x) 是一个二次多项式。

确定 h(x)

我们考虑 h(x) 为一个二次多项式:

h(x)=x2+c,

其中 c 是待定常数。

匹配系数:

s(0)=p(0)0=1, 其中 p(x)=x2np(1x)

1=(1)n(n!)2c,

这给出:

c=1(1)n(n!)2=(1)n(n!)2.

寻找额外解:

h(x)=0

x2+c=0x2=cx=±1n!,

因为 c=1(n!)2

结论:

满足 p(1x)=x2 的额外实数 xx=±1n!