数学问题

$n$ $p$ $2n$ 的单项式实系数多项式；也就是说，

p (x) = x^{2 n} + a_{2 n - 1} x^{2 n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

$a_0, \dots, a_{2n-1}$ 。

$p\left( \frac{1}{k} \right) = k^2$ $k$ $\leq |k| \leq n$ 。

$x$ $p\left( \frac{1}{x} \right) = x^2$ 。

解答

$2n$ $p(x)$ ，其形式为

p (x) = x^{2 n} + a_{2 n - 1} x^{2 n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

$k$ $1 \leq |k| \leq n$ ，多项式满足条件

p (\frac{1}{k}) = k^{2} .

$x$ ，使得

p (\frac{1}{x}) = x^{2} .

$k$ $1 \leq |k| \leq n$ ，以下成立：

p (\frac{1}{k}) = k^{2} .

$k$ $\frac{1}{k}$ $p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2 = 0$ 的根。因此，多项式

q (x) = p (\frac{1}{x}) - x^{2}

$x = \pm k$ $1 \leq k \leq n$ $q(x)$ 表示为

q (x) = C (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2) \dots (x - n) (x + n)

$C$ 是常数。

$q(x) = p\left(\frac{1}{x}\right) - x^2$ ，我们可以写成

p (\frac{1}{x}) = x^{2} + C (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2) \dots (x - n) (x + n) 。

$p(x)$ $2n$ $p\left(\frac{1}{x}\right)$ $2n$ $x^2 + C(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) \cdots (x - n)(x + n)$ $2n$ $C = 1$ ，否则次数将不匹配。

$p\left(\frac{1}{x}\right)$ 的表达式为

p (\frac{1}{x}) = x^{2} + (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2) \dots (x - n) (x + n) 。

$x$ ，使得

p (\frac{1}{x}) = x^{2} 。

这个方程可以重写为

x^{2} + (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2) \dots (x - n) (x + n) = x^{2} ，

简化为

(x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2) \dots (x - n) (x + n) = 0 。

该方程的解是

x = \pm 1, \pm 2, \dots, \pm n 。

$x$ $p\left(\frac{1}{x}\right) = x^2$ $x = \pm 1, \pm 2, \dots, \pm n$ 。

$x$ $p\left(\frac{1}{x}\right) = x^2$ 是

x = \pm 1, \pm 2, \dots, \pm n 。